GUÍA TEORÍA DE NÚMEROS - GRADO SEXTO
TEMA: Problemas de aplicación de m.c.m y
M.C.D.
DOCENTE: Olga Camacho Tovar
Para poder resolver problemas sobre m.c.m.
y el M.C.D. debe tener en cuenta las siguientes indicaciones:
1º Debe leer el problema las veces que
sean necesarias.
2º Se deben recoger los datos del
problema.
3º Identificar lo que se necesita.
4º Plantear estrategias al problema.
Buscar el conocimiento que debe aplicar para resolver la situación
5º Comprobar las estrategias y elegir una
de ellas.
Ejemplo:
1. Tres compañías de navegación pasan por
cierto puerto. La primera cada ocho días; la segunda cada 18 días y la tercera
cada 21 días. ¿Cada cuántos días se hallan los buques de las tres compañías
simultáneamente en este puerto?...............
2. Tres aviones salen de una misma ciudad
con una periodicidad de cuatro días; cinco días y 10 días, respectivamente. Si
la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio, ¿cuál será la próxima
fecha en que volverán a salir juntos?................
3. ¿Cuál es la menor longitud que debe
tener una varilla para que se pueda dividir en trozos de 24 cm; 27 cm ó 45 cm
de longitud sin que sobre ni falte nada?................
Problemas
Resueltos
1Un
faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 6:30 de la tarde los tres coinciden.
Averigua las veces que volverán a
coincidir en los cinco minutos siguientes.
m. c. m.
(12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5= 180
Cada 180
segundos coinciden, luego para saber la hora, debemos saber a cuántos minutos
corresponden los 180 segundos: se divide
180 entre 60 y obtenemos que
corresponde a 3 minutos. Por lo tanto la
hora en que vuelven a coincidir es 6:33 p.m.
R/. Sólo vuelven a coincidir a las 6:33 p.m.
2Un
viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos
en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán
a estar los dos a la vez en Barcelona?
m. c. m.
(18, 24) =23 · 32 = 72
R/. Los dos viajeros vuelven a estar en Barcelona en 72
días.
3¿Cuál
es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada
caso, da residuo 9?
m. c. m.
(15, 20, 36, 48) = 24 ·
32 · 5 = 720
Para que
el residuo sea 9: 720 + 9 = 729
R/. El número menor que cumple las condiciones dadas es
729
4
En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades
son: 250 litros, 360 L, y 540 L. Su contenido se quiere envasar en cierto
número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas
para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles,
y el número de garrafas que se necesitan.
m. c. d.
(250, 360, 540) = 10
Capacidad
de las garrafas = 10 L (litros)
Número de
garrafas de T1 = 250 /
10 = 25 (primer tonel de vino)
Número de
garrafas de T2 = 360 /
10 = 36 (segundo tonel de vino)
Número de
garrafas de T3 = 540 /
10 = 54 (tercer tonel de vino)
Número de
garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.
R/. La capacidad máxima de las
garrafas es 10 litros y se necesitan 115 garrafas.
5El
suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 50 dm de largo y 30 dm de ancho.
Calcular la medida del lado de la
baldosa y el número de ellas, de tal manera que el número de baldosas que se
coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
El área es
el producto del largo por el ancho: A = 30 · 50 = 1500
El área del piso de la habitación es de 1.500 dm2
M.C.D.(30,
50) = 2· 5= 10 El lado de la baldosa
mide 10 dm
El área de
la baldosa es: Ab = 102 = 100.
Es decir 100 dm2
Dividimos
las dos área para saber cuántas baldosas se pueden colocar: 1500 dm2 : 100 dm2 = 15 baldosas
R/. El lado de la baldosa mide 10 dm y se pueden colocar
15 baldosas
6 Un comerciante desea poner en
cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas, de modo que cada caja contenga el
mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible.
Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
M.C.D.(12.028,
12.772) = 124 Número de frutas en cada caja
No de cajas
de naranjas = 12.772 / 124 = 103
No de cajas
de manzanas = 12 028 / 124 = 97
Cajas
necesarias = 103 + 97 = 200
R/. En cada caja van 124 naranjas
y se necesitan 200 cajas
7¿Cuánto
mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una
sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
8 m = 80
dm 80 = 24 · 5
6.4 m = 64
dm 64 = 26
m. c. d.
(80, 64) = 24 = 16 dm de lado
A b = 162 = 256 dm2
A = 80 ·
64 = 5120 dm2
5120 dm2 : 256 dm2 = 20 baldosas
ALGORITMO DE EUCLIDES:
Un algoritmo es una secuencia de pasos para
conseguir un resultado.
El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d.
de dos números. Los pasos son:
1. Se divide
el número mayor entre el menor.
2. Si:
1. La
división es exacta, el divisor es el m.c.d.
2. La
división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se
continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último
divisor el m.c.d.
m. c. d. (72, 16)
m. c. d. (72, 16) = 8
RESUMEN
Consideraciones sobre los múltiplos de un número
1Todo
número es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2 Todo
número, tiene infinitos múltiplos.
3 Si a
es múltiplo de b, al dividir a entre b la división es exacta.
Un número b es un divisor de
otro a cuando lo
divide exactamente.
A los
divisores también se les llama factores.
Consideraciones sobre los divisores de un número
1 El 1
es divisor de todos los números.
2 Todo
número es múltiplo y divisor de sí mismo.
3 Todo
divisor de un número distinto de cero es menor o igual a él, por tanto el
número de divisores es finito.
Criterios de divisibilidad
Un número es divisible por:
2, si termina en cero o número par.
3, si la suma de sus dígitos nos da
múltiplo de 3.
5, si termina en cero o cinco.
7, si
la división es exacta (no
aplicaremos ninguna regla, aunque la hay).
11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan
los lugares pares y la de los impares es múltiplo de 11.
Otros criterios de divisiblilidad
4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
6, si
es divisible por 2 y por 3.
8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
9, si la suma de sus dígitos nos da
múltiplo de 9.
10, si la cifra de las unidades es 0.
25, si
sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
125, si
sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.
Número primo
Un número es primo si
sólo tiene dos divisores: él
mismo y la unidad.
Número compuesto
Es aquél
que posee más de dos divisores.
Factorizar
Factorizar
o descomponer un número en factores primos es expresar el número como un
producto de números primos.
Para factorizar un número efectuamos sucesivas
divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.
Máximo común divisor
El máximo
común divisor, m.c.d. , de dos o más números es el mayor número que divide a
todos exactamente.
Cálculo del m.c.d
1. Se
descomponen los números en factores primos.
2. Se
toman los factores comunes con menor exponente.
Mínimo común múltiplo
Es el
menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido en cero.
Cálculo del m.c.m
1. Se
descomponen los números en factores primos
2. Se
toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
El algoritmo de Euclides
El
algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m. c. d. de dos
números. Los pasos son:
1. Se
divide el número mayor entre menor.
2. Si:
1. La
división es exacta, el divisor es el m. c. d.
2.La
división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se
continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último
divisor el m. c. d.
PROBLEMAS
MCD y mcm ( RAZONAMIENTO MATEMÁTICO)
1.
Un
albañil debe colocar baldosas cuadradas en un piso de un baño cuyas dimensiones
son 270 cm y 300 cm. Cuántas baldosas enteras se podrán colocar en dicho piso,
si estas deben ser del mayor tamaño posible?
30, 90, 10, 19. MCD(270,300)
2.
Cuatro
ciclistas compiten en una pista circular y la recorren totalmente en 8, 10, 12
y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, en cuántos minutos se
encontrarán en la partida? 120, 1, 2, 3 . mcm(8,10,12,15)
3.
De
los 630 primeros números naturales, cuántos son múltiplos de 3 y de 7 a la vez?
10, 21, 20, 30.
4.
El
número de páginas de un libro está comprendido entre 300 y 350. Si se cuentan
de 3 en 3, sobran 2; de 4 en 4 sobran 3 y de 7 en 7 sobran 6. Cuántas páginas tiene el libro? 325, 345, 315, 335. mcm(3,4,7)= 84 , 168, … M(84) entre 300 y 350?
336… 335 páginas
5.
Juan
tiene un terreno de forma rectangular de 40 m de ancho y 96m de largo. Si se
divide un terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el interior de cada
parcela 3 árboles, cuál es el mínimo número de árboles que podría sembrar en su
terreno? 160, 150, 190, 170, 180 MCD(40,96)
= 8
6.
Se
desea colocar postes igualmente espaciados en el perímetro de un terreno
rectangular de 280 m de largo por 120m de ancho. Si se sabe que debe colocarse un poste en
cada esquina y el número de postes debe ser el menor posible, determine el número
total de postes por colocar. 24, 20, 48, 40, 18 MCD
7.
IN,
Ʌ , X > 8} 
